선형대수학 <역행렬과 행렬식>

By | November 21, 2017

선형대수학 <기초>에서 행렬과 벡터에 대해 대략적인 리뷰를 하였다면

여기서는 역행렬과 행렬식을 좀 더 자세히 알아본다.

1.역행렬(Inverse Matrix)

: 원래 행렬과 곱했을 때, 단위행렬이 되는 행렬을 역행렬이라 한다.

– 계산법

– 용도

선형방정식 풀이

——-(1)
식(1)에 표현된 선형방정식을 간단히 하면 식(2)가 된다.
——-(2)

식(2)를 벡터형식으로 표현하면 식(3)이 된다.

————————————(3)

식(3)에서 우리가 궁금한것은 A,B가 아닌 X이다.

그렇다면 식(4)와 같이 표현한다면 간단하게 X를 구할 수 있게 될 것이다.

 ———————————–(4)

역행렬은 존재할수도 있고 존재하지 않을수도 있다.

역행렬의 존재여부를 판단할수 있는것이 행렬식이고, 행렬식에 대해서는 아래에서 더 자세히 설명하겠다.

간단하게 역행렬의 성질을 알아보고 행렬식으로 넘어간다.





만약 역행렬이 존재한다면 역행렬은 유일하게 된다.

2.행렬식(Determinant)

: 행렬을 가지고 일정한 계산을 하는 계산식으로 식 자체가 의미있는 것이 아니라

식을 통해 나온 값이 행렬의 특성을 나타내는 의미있는 값이다.

– 용도 

1.역행렬의 존재유무 

det(A)=0 역행렬 없음

: 연립방정식을 만족하는 유일한 해가 존재하지 않는다.

즉, 만족하는 해의 갯수가 무한대(부정) 이거나 없다.(불능)

det(A)≠0  역행렬 있음

: 연립방정식을 만족하는 유일해가 존재

2. 선형변환


즉, 행렬P가 행렬A와 곱해졌을때  P’이 된다면

행렬 A는 P를 P’으로 변환시켜주는 선형변환으로 해석할수 있다.

이때 det(A)의 절대값은 선형변환의 크기를 나타내고

부호는 도형의 방향의 보존유무를 나타낸다.

det(A)>0  도형의 방향 보존

det(A)<0  도형의 방향 보존 X

여기서 도형의 방향 보존이란 P를 시계,반시계방향으로 돌렸을때 P’이 되는 것을 말한다.

 

————(1)

그림(1) 왼쪽그림은 P에서 P’이 될 때, 크기는 5배 방향 보존,

오른쪽그림은 P에서 P’이 될 때, 크기는 1배 방향 보존 X

즉, P를 아무리 회전시켜도 P’이 되지 않는다.

————(2)

그림(2) 왼쪽그림은 P에서 P’이 될 때, 크기는 0배 즉, 직선이 된다.

오른쪽그림도 P에서 P’이 될 때, 크기는 0배 즉, 직선이 된다.

————(3)

그림(3)은 P에서 P’이 될 때, 크기는7배 방향 보존X,

즉, P를 아무리 회전시켜도 P’이 되지 않는다.

 

————(4)

그림(4)는 P에서 P’이 될 때, 크기는0배 즉, 평면이 된다.

마지막으로 행렬식의 성격을 나열하겠다.




det(대각행렬) =  대각원소들의 곱